Задачи из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого
1. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?
Решение задачи:
Если первоначальное число яблок х, то первый покупатель получил x/2 + 1/2 = (x + 1)/2, второй 1/2(x - (x + 1)/2) + 1/2 = (x + 1)/22, третий 1/2(x - (x + 1)/2 - (x + 1)/4) + 1/2 = (x + 1)/23, седьмой покупатель (х + 1)/27. Имеем уравнение: (х + 1)/2 + (х + 1)/22 + (х + 1)/23 + ... + (х + 1)/27 = x или (x + 1)(1/2 + 1/22 + 1/23 + ... + 1/27) = x. Вычисляя стоящую в скобках сумму членов геометрической прогрессии, найдем: х/(x + 1) = 1 - 1/27 и х = 27 - 1 = 127.
Ответ: 127 яблок
2. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?
Решение задачи:
Людей всего 7, кошек 72 = 49, они съедают всего 73 = 343 мыши, которые съедают всего 74 = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19608.
С точки зрения геометрической прогрессии имеем:
b1 =7, q =7, n=5
Ответ: 19608
3. Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.» Тогда продавец предложил другие условия:«Если по-твоему цена лошади высока, то купи только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй - 1/2 коп., за третий - 1 коп. и т. д.» Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей. На сколько покупатель проторговался?
Решение задачи:
За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить
1/4 + 1/2 + 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 224-3 копеек.
Сумма эта равна (221 × 2 - 1/4)/(2 - 1) = 222 - 1/4 = 4194303 3/4 коп., т. е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.
Ответ: 42 тысячи
4. Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?
Решение задачи:
За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить
копеек. Сумма эта равна
копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу
Ответ: 42 тысячи
Задача из старинного русского учебника математики, носящего странное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Шкык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике» (1795).
5. Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейку, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению воин получил вознаграждение в сумме 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.
Решение задачи:
в1=1 коп. – вознаграждение за первую рану,
в2=2 коп. – вознаграждение за вторую рану,
в3=4 коп. – вознаграждение за третью рану
Sn=655 руб.35 коп. = 65535 коп – сумма вознаграждений за все раны
q=2, Sn=2n-1=65535
2n=65536
n=16
Ответ: 16
Задача из «Сборника старинных занимательных задач по математике» Игнатьева Е.И.
6. Однажды богач заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком, который целый месяц ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца богач должен был отдать 1 коп., во второй-2 коп., в третий-4 коп., в четвертый-8 коп. и т. д. в течение 30 дней. Сколько денег получил богач и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки?
Решение задачи:
Считают “мужик” и “купец”
“Мужик” заплатил: S30 = 100 000• 30 = 3 000 000 (рублей).
“Купец” заплатил: 1; 2; 4;…
q=2/1=2.
Sn = b1*(1-q^n)/1-q
S30 =1• (230 – 1):(2-1)= 2 30 -1= =1 073 741 824 -1 =1 073 741 823 (коп.) или 10 738 418 руб. 23коп.
Ответ: 10 738 418 руб. 23 коп.
Ответ: 19608
Задача из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А. и Вальцова Н.К.
7. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?
Решение задачи:
Дано: a1=40, d=15, Sn=1690.
Найти n.
Sn=(2a1+d(n-1))*n:2; n>0;
1690=(80+15(n-1))?n:2;
1690=(80+15(n-1))?n:2;
3380=(65+15n)?n;
15n2+65n-3380=0;
3n2+13n-676=0;
n1=-52/3; n2=13. Так как по условию задачи n>0, то n=13.
Ответ: 13 аршин
Задача из «Русских математических рукописей» XV-XVII веков.
8. Было 40 городов, а во всяком городе по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 копей, а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей, ино много ли порознь будет?
Решение задачи:
b1 =40, q =40, n=8
S8= (〖b_1 (q〗^n-1))/(q-1) =(〖40*(40〗^8-1) )/(40-1) = 6 721 641 025 640
Ответ: 6 721 641 025 640
Комментариев нет:
Отправить комментарий